Родился 24 августа (6 сентября) 1908 года в Казани в семье русского и советского математика и механика Александра Петровича Котельникова.
В 1926 году поступил в МВТУ имени Н. Э. Баумана, где преподавал его отец. На последних курсах перешёл в Московский энергетический институт (МЭИ), который окончил в 1930 году.
Работал инженером в Центральном институте связи НКПиТ.
С 1931 года был зачислен в аспирантуру МЭИ, в том же году возглавил группу в Институте связи, занимавшуюся разработкой передачи шифрованного сигнала на большие расстояния.
В 1938–1939 годах руководил двумя лабораториями по засекречиванию телеграфной и телефонной информации.
На принципах, разработанных Котельниковым, была создана шифровальная телеграфная аппаратура «Москва».
Член ВКП(б) с 1948 года.
В дальнейшем занимал должности декана радиотехнического факультета МЭИ (1947–1953), директора и главного конструктора ОКБ МЭИ (1948–1953), заместителя директора и директора (1954–1988) ИРЭ АН СССР.
Заведующий кафедрой основ радиотехники МЭИ (1953–1980).
Вице-президент и первый вице-президент АН СССР (с 4 марта 1970 по 27 сентября 1988 года), член совета старейшин Российской инженерной академии, почётный член Международной инженерной академии.
Иностранный член Болгарской АН (1987).
С 1981 года возглавлял Совет по международному сотрудничеству в области исследования и использования космического пространства в мирных целях при АН СССР (Совет «Интеркосмос»), с 1992 по 2001 годы — секцию «Международное сотрудничество („Интеркосмос“)» Совета РАН по Космосу.
Депутат Верховного Совета РСФСР (1971—1980; с 30 июля 1973 года по 25 марта 1980 года — председатель Верховного Совета РСФСР, в 1979—1989 годах — депутат Совета национальностей Верховного Совета СССР 10—11-го созывов).
С 2003 года — почётный доктор МЭИ.
Умер 11 февраля 2005 года на 97-м году жизни.