Родился 21 февраля 1904 года в семье токаря петербургского минно-торпедного завода «Лесснер» Николая Ильича, выходца из крестьян Коломенского уезда Московской губернии, и Матроны Александровны Косыгиных.
В 15 лет, будучи учеником Петровского реального училища, отправился добровольцем в Красную армию, где строил оборонительные сооружения.
В 1921–1924 годах учился в кооперативном техникуме в Петрограде, после чего работал в системе потребительской кооперации Сибири.
С 1927 года — член ВКП(б)/КПСС.
В 1935 году окончил Ленинградский текстильный институт имени С. М. Кирова, после чего работал в Ленинграде на текстильной фабрике имени А. И. Желябова мастером, затем начальником цеха.
В 1937 году назначен директором Октябрьской прядильно-ткацкой фабрики.
В 1938 году — заведующий промышленно-транспортным отделом Ленинградского областного комитета ВКП(б), в октябре того же года избран председателем Исполнительного Комитета Ленинградского городского Совета депутатов трудящихся.
2 января 1939 года назначен Народным Комиссаром текстильной промышленности СССР.
В годы Великой Отечественной войны проводил организаторскую работу по перестройке народного хозяйства СССР на военный лад, по созданию военно-промышленной базы в восточных районах страны.
В 1943–1946 годах — председатель СНК РСФСР, занимался вопросами восстановления и развития народного хозяйства.
В 1949–1953 годах — министр лёгкой промышленности.
С 1957 года работал в Госплане, в 1959–1960 годах — председатель Госплана.
С 1960 года — первый заместитель председателя, в 1964–1980 годах — председатель Совета Министров СССР.
Алексей Николаевич Косыгин активно участвовал в проведении внешней политики Советского Союза. Он неоднократно представлял СССР на международных конференциях и совещаниях, возглавлял советские партийно-правительственные делегации во многих государствах мира.
Избирался депутатом Верховного Совета СССР 2–9-го созывов.
В октябре 1980 года А.Н.Косыгин вышел на пенсию.
Скончался 18 декабря 1980 года.
Награждён шестью орденами Ленина, орденами Октябрьской революции, Красного Знамени, медалями.
В 1982 году в Санкт-Петербурге именем А. Н. Косыгина назван проспект.
Лихтеровоз «Алексей Косыгин» спущен на воду в 1984 году.
Имя «Алексей Косыгин» получил четырёхпалубный теплоход проекта PV06, построенный с использованием элементов корпуса и надстройки трёхпалубного теплохода «Ильич» (проект 588). В настоящее время теплоход не сдан в эксплуатацию и находится в затоне посёлка Память Парижской Коммуны в Нижегородской области.
30 июня 2001 года Российским союзом товаропроизводителей учреждена премия имени А. Н. Косыгина — за реальные достижения в решении фундаментальных и прикладных проблем экономики, за совершенствование и развитие отдельных отраслей экономики. Ежегодно присуждается 20 премий.
17 декабря 2015 года Российским союзом товаропроизводителей была учреждена общественная награда — «Орден А. Н. Косыгина».